Sujets probables en mathématiques et spé (bac ES 2020)

Les sujets probables en mathématiques (épreuve obligatoire)

Commentaire de notre professeur

Pas d’impasse possible en terminale ES ! Un sujet se compose au moins d’un exercice sur chacun des 3 thèmes principaux :

• Suites
• Probas (souvent en 3 parties) : conditionnelles, continues (loi uniforme ou normale et de temps en temps une loi binominale), échantillonnage (intervalle de fluctuation et/ou de confiance).
• Fonctions : l’étude d’une fonction, souvent le produit d’une fonction exponentielle ou un  logarithme à dériver pour étudier le signe de la dérivée et les variations de la fonction. Puis, on aura sûrement le TVI à appliquer,, une question sur la convexité et une question d’intégration.

Sujets chauds

• Les suites
• Notion de continuité sur un intervalle
• Fonctions exponentielles
• Fonction logarithme népérien
• Conditionnement
• Notion de loi à densité à partir d’exemples
• Intervalle de fluctuation
• Estimation

Sujets tièdes

• Convexité
• Intégration
• Algorithmique : instructions élémentaires
• Boucle et itérateur, insruction conditionnelle

Les sujets probables en spécialité mathématiques

Sujets chauds

• Graphes (sommets, sommets adjacents, etc.)
• Recherche du plus court chemin sur un graphe pondéré connexe
• Graphe probabiliste à 2 ou 3 sommets : matrice de transition, état stable d’un graphe probabiliste

Sujets tièdes

• Matrice carrée, matrice colonne : opérations
• Matrice inverse d’une matrice carrée

Comment avez-vous sélectionné les sujets annoncés comme probables ?

Pour l’épreuve obligatoire

Sur la base du modèle d’un sujet de bac de terminale ES qui, dans la plupart des cas, est le suivant :

Un QCM

Celui-ci traite aléatoirement des trois grands thèmes : suites, fonctions et probabilités.

Un exercice sur les suites

On souhaite étudier une suite arithmético-géométrique. Pour cela, on étudie une suite auxiliaire qui va être géométrique : on connaît son terme général, on connaît son sens de variation, on connaît sa limite. On va donc pouvoir en déduire tout ce qui nous intéresse sur la suite de départ. Souvent, la suite est modélisée par un algorithme, soit à compléter, soit à faire tourner, soit à modifier.

Un exercice de probabilités en 3 parties

1. Probabilités conditionnelles : calcul d’une probabilité d’intersection, calcul d’une probabilité conditionnelle, application de la formule des probabilités totales, calcul d’une probabilité conditionnelle (inversion d’arbre).
2. Probabilités continues : soit on trouve une loi uniforme, soit une loi normale et, de temps en temps, il y en a une de plus : une loi binomiale qui tend vers une loi normale.
3. Échantillonnage : intervalle de fluctuation et/ou de confiance. Attention, parfois, il n’est pas dit clairement dans l’énoncé lequel est attendu. Cela dépendra du contexte.

Un exercice sur les fonctions

Il s’agit de l’étude d’une fonction, souvent sous la forme d’une fonction exponentielle x, et d’une autre fonction (affine ou polynôme du second degré). Mais, on peut aussi se retrouver face à la fonction ln x  :

• Calcul de la dérivée
• Etude du signe de la dérivée et des variations de la fonction
• Application du TVI
• Une question sur la convexité
• Une question sur l’intégration : par lecture graphique ou avec la primitive
• De la lecture graphique (d’image, de nombre dérivé, de convexité, point d’inflexion, aire sous la courbe…)

Les questions sur la convexité, sur l’intégration ou encore sur la lecture graphique ne tombent pas forcément toutes les trois dans l’exercice sur les fonctions. Mais si ce n’est pas dans cet exercice, il y a de fortes chances de les retrouver dans le QCM.

En spécialité :

Au vu des sujets des années précédentes, il est moins fréquent de tomber sur un exercice traitant exclusivement des matrices. Mais, on retrouve tout de même trois cas de figure :

Résolution de système avec les matrices : en général, il faut faire la recherche d’une fonction passant par un certain nombre de points. Dans ce cas-là, il peut y avoir :

• Une fonction (souvent polynôme), dont les coefficients sont des réels (a, b, c), est donnée, et certains points appartenant à sa courbe représentative (par lecture graphique ou directement par les coordonnées des points).
• Il faut en déduire le système correspondant,
• donner l’écriture matricielle du système,
• et résoudre le système avec les matrices en détaillant la démarche ou pas.

Souvent, on doit donner la fonction obtenue à la fin et l’appliquer, en une certaine valeur, selon le contexte.

Graphes classiques :

• Questions sur le vocabulaire : complet, connexe, simple.
• Application du théorème d’Euler : existence de chaînes ou cycles eulériens demandée explicitement ou dans le contexte de l’exercice : faire le lien entre la phrase en français et l’objet mathématique demandé.
• Matrice d’adjacence
• Nombre de chemins de longueur p allant d’un sommet à un autre
• Algorithme de Dijkstra

Graphes probabilistes :

• Déterminer la matrice de transition
• Déterminer quelques états particuliers
• Exprimer l’état Pn+1 en fonction de Pn
• Mêmes questions que sur les suites
• Déterminer l’état stable, soit avec les limites, soit en résolvant un système.

Quelles sont les notions incontournables à connaître dans votre matière ?

Pour l’épreuve obligatoire :

Toutes les notions sont incontournables ! Comme on l’a dit précédemment, le sujet de terminale ES est fait de telle sorte que tous les chapitres peuvent être évalués (ne serait-ce que sur une question).

La seule chose du programme qui ne tombe généralement pas au bac, c’est le calcul de primitives. Dans l’exercice sur les fonctions, on demande souvent de « montrer que F(x) = …  est une primitive de f », mais il est extrêmement rare que l’on demande de déterminer une primitive de la fonction f .

En spécialité :

• Résolution de système avec les matrices
• Connexité d’un graphe
• Théorème d’Euler
• Matrice d’adjacence d’un graphe
• Chemin de longueur p
• Algorithme de DIjkstra
• Graphe probabiliste

Comment bien préparer son épreuve dans cette matière ?

En travaillant des annales, des sujets d’années précédentes, car finalement, les exercices suivent toujours le même modèle.

Comment gagner facilement des points dans cette matière ?

Pour l’épreuve obligatoire :

Pour gagner facilement des points, j’invite à traiter les premières questions des exercices, qui demandent parfois juste une bonne lecture de l’énoncé.

En général, les élèves sont assez à l’aise avec les probabilités conditionnelles.

Dans le QCM (à condition de prendre le temps de le faire et de se relire), on peut souvent éviter les réponses fausses en repérant que ce sont des pièges, dans lesquels les élèves risquent de tomber. C’est fait exprès.

Les questions commençant par « en déduire » impliquent souvent qu’il n’y a pas de nouveaux calculs à effectuer dans cette question. Cela veut, la plupart du temps, dire qu’il faut juste remettre dans l’ordre ce qui a été fait avant, pour en conclure quelque chose.

En spécialité :

En connaissant les quelques théorèmes vus dans l’année et leur application. Et, il faut avoir à l’esprit que les énoncés des questions suivantes peuvent donner des indices sur les résultats escomptés à certaines questions.

Quelles sont les erreurs fréquentes des élèves dans cette matière ?

Pour l’épreuve obligatoire :

Lorsque la courbe est donnée dans l’exercice sur les fonctions, il faut vérifier que le tableau de variations trouvé correspond à la courbe !

Pour la lecture graphique d’aire sous la courbe, il faut faire attention à l’unité d’aire du graphe, qui ne correspond pas forcément à un carreau.

Lorsqu’un résultat est donné dans l’énoncé, on continue l’exercice avec le résultat de l’énoncé même si on n’a pas réussi à le montrer. Mais surtout, on n’utilise pas le résultat qu’on a trouvé à une question dans la suite de l’exercice, si ce n’est pas le même que celui de l’énoncé !

En spécialité :

Dans l’algorithme de Dijkstra, dans une colonne (en descendant), les valeurs ne peuvent que diminuer, jamais raugmenter !

Quels sont vos conseils de méthodo ?

Il faut ne pas se lancer tête baissée dans un exercice : il faut bien lire l’énoncé entièrement avant d’entamer la première question. On peut parfois trouver des indices sur ce qu’on est censé trouver comme résultat dans une question en regardant ce qui est demandé plus loin dans l’exercice.

Il faut cibler les questions qui reviennent souvent dans les sujets des années précédentes et comprendre le déroulement de la résolution.

Pour le QCM, je conseille de commencer par ne pas regarder les solutions proposées et d’essayer de répondre à la question. Puis, j’invite les élèves à voir si la solution trouvée fait partie des réponses. Si oui, il faut quand même reprendre, une par une, les autres réponses proposées pour s’assurer qu’elles sont bien fausses.

Il ne faut pas perdre trop de temps sur les questions où la réponse est donnée dans l’énoncé du style « montrer que ». On essaie de répondre et, si le calcul commence à prendre trop de temps, on laisse de la place sur la feuille et on continue l’exercice en admettant le résultat de l’énoncé.

A la fin, si on en a le temps, on revient sur les questions de ce style, laissées en suspens.

Comment bien préparer/optimiser mes révisions ?

Je vais me répéter mais on optimise les révisions en travaillant des annales !