Convexité - Mathématiques - Terminale ES

Convexité - Mathématiques - Terminale ES

La convexité est au programme de Mathématiques de la classe de Terminale ES. Notre professeur vous propose son cours de maths gratuit sur la convexité. Vous étudierez tout d'abord les fonctions convexes et quelques exemples parlants, puis vous aborderez les fonctions concaves. Vous vous intéresserez alors au lien entre convexité et sens de variation de la dérivée à travers quelques propriétés et exemples. Enfin, vous verrez la définition d'un point d'inflexion.

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Fonction convexe

Définition d'une fonction convexe

Définissons la notion de fonction convexe : c'est une fonction qui est dérivable sur un intervalle et dont la courbe représentative est entièrement située au-dessus de chacune de ses tangentes.

Exemples de fonctions convexes

Prenons quelques exemples pour éclaircir les propos précédents.
Premier exemple : la fonction est convexe sur , dont voici la courbe ci-dessous en vert. Ses tangentes sont représentées en rouge. On constate bien que la courbe est entièrement située au-dessus de chacune de ses tangentes.
Deuxième exemple : la fonction est également convexe sur , dont voici la courbe ci-dessous en vert. Ses tangentes sont représentées en rouge. On constate là encore que la courbe est entièrement située au-dessus de chacune de ses tangentes, et donc qu'on a bien une fonction convexe.

Fonction concave

Définition d'une fonction concave

Définissons maintenant la notion de fonction concave : c'est une fonction qui est dérivable sur un intervalle et dont la courbe représentative est entièrement située en-dessous de chacune de ses tangentes.

Exemples de fonctions concaves

Prenons de nouveau quelques exemples pour illustrer la définition.
Premier exemple : la fonction est concave sur , dont voici la courbe ci-dessous en vert. Ses tangentes sont représentées en rouge. On constate bien que la courbe est entièrement située en-dessous de chacune de ses tangentes.
Deuxième exemple : la fonction est également concave sur , dont voici la courbe ci-dessous en vert. Ses tangentes sont représentées en rouge. On constate là encore que la courbe est entièrement située en-dessous de chacune de ses tangentes, et donc qu'on a bien une fonction concave.

Convexité et sens de variation de la dérivée

Propriétés

Concernant les fonctions convexes et concaves, on peut établir deux propriétés faisant référence à leurs fonctions dérivées respectives. Ces propriétés sont les suivantes :
  • une fonction est convexe sur un intervalle si et seulement si sa dérivée est croissante sur ;
  • une fonction est concave sur un intervalle si et seulement si sa dérivée est décroissante sur
Nous pouvons alors établir la remarque suivante : si une fonction est une fonction dérivable sur un intervalle telle que est dérivable sur ce même intervalle , alors les propriétés énoncées ci-dessus se traduisent respectivement, avec dérivée de , par :
  • est convexe sur si et seulement si ;
  • est concave sur si et seulement si

Exemple

Prenons un exemple pour préciser les propriétés précédentes.
Soit une fonction définie sur .
Ainsi, est dérivable sur telle que et est également dérivable sur telle que . On peut alors en déduire :
  • si donc est concave sur ;
  • si donc est concave sur .

Point d'inflexion

Définition du point d'inflexion

Donnons la définition d'un point d'inflexion d'une courbe : c'est un point sur la courbe représentative d'une fonction où celle-ci « traverse » sa tangente.

Exemple de point d'inflexion

Pour mieux comprendre la définition précédente, utilisons un exemple. On considère encore une fois la fonction définie sur , et on appelle sa représentation graphique. Alors, est dérivable sur telle que . Écrivons maintenant l'équation de la tangente à en : , soit .

Comme le montre le graphique ci-dessus, la courbe traverse sa tangente en , donc est un point d'inflexion de .

Propriété

Nous avons une autre propriété à énoncer : soit une fonction qui est fois dérivable (c'est-à-dire que est dérivable) sur un intervalle . Alors, on peut dire que la courbe représentative de a un point d'inflexion d'abscisse si et seulement si s'annule en changeant de signe en .
À la différence de l'exemple précédent où nous avons trouvé le point d'inflexion sur un graphique, nous pouvons également le déterminer par le calcul. Pour cela, on va encore utiliser la même fonction définie sur . On appelle sa représentation graphique. On a vu que et . Ainsi, si on construit le tableau de signe pour étudier la variation de la courbe représentative de la fonction, on obtient :
On peut donc en déduire que s'annule en changeant de signe en , donc le point d'abscisse de est bien un point d'inflexion.
Fin de l'extrait

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