Correction Mathématiques Bac ES 2017 Polynésie

Ce sujet est composé d’exercices « classiques » (voir tableau ci-dessous) et reste facilement abordable. Cependant, certaines questions nécessitaient une prise d’initiative et donc la maitrise des notions abordées. Les difficultés majeures étaient les suivantes :

• Exercice 3 (Hors spécialité) : Dans la dernière question, penser à utiliser la somme des termes d’une suite géométrique.

 

EXERCICE 1 (QCM) 

 

1. Réponse b

 

2. Réponse c 

 

f(x) = 2xe^(x²) = u'e^u avec u(x)= x²

 

Une primitive de f est F(x) = e^(x²)

 

D’où :  dx = F(2)- F(-2) = e^(2²) - e^((-2)²) = e^4 - e^4 = 0

 

3. Réponse c

 

f est la fonction définie et dérivable pour tout x∈]0;+∞[

 

f(x)= (2x+3)lnx = u × v   avec   u(x) = 2x + 3    et   v(x) =lnx

 

f'(x) = u'× v + u × v'= 2 × lnx + (2x+3) × 1/x = 2lnx + 2 + 3/x

 

f'(x)= 2lnx + 3/x + 2

 

4. Réponse d

 

 

Une grandeur a été augmentée de 5 % la première année, puis de 7 % la deuxième année. Elle a été multipliée par :

 

(1+5%)(1+7%)=(1+5/100)(1+7/100)=1,05×1,07=1,1235

 

Soit T le pourcentage global d’augmentation sur ces deux années. On a :

 

1 + T = 1,1235 ➜ T = 1,1235 - 1 = 0,1235 = 12,35%

 

T = 12,35%

 

EXERCICE 2

 

Les trois parties de cet exercice sont indépendantes.

 

PARTIE A 

 

A : ≪ le candidat a suivi la filière AAC ≫ ;

R : ≪ le candidat a été reçu à l’examen ≫.

 

1) a.

 

➜ «20% des personnes qui se sont présentées à l’épreuve pratique du permis de conduire avaient suivi la filière AAC.   

P(A)=0,2

 

➜ Parmi ces candidats, 75 % ont été reçus à l’examen.

P_A(R)=0,75

 

➜ Pour les candidats n’ayant pas suivi la filière AAC le taux de réussite à l’examen était seulement de 56,6 %

P_A ̅ (R)=0,566

b. Arbre traduisant la situation

 

 

2)

a. P(A∩R) = P(A) × P_A(R) =0,2 ×0,75

P(A∩R) = 0,15

 

 

b. Lorsqu’on choisit au hasard un candidat, il y a 15% de chances qu’il ait suivi la filière d’apprentissage anticipé de la conduite et soit reçu à l’examen.

 

3)

 

P(R) = P(A∩R) + P(A ̅∩R) = 0,15 + 0,8 × 0,434 = 0,15 + 0,4528

 

P(R) = 0,6028

 

 

4)

P_R (A) = P(A∩R)/P(R) = 0,15 / 0,6028

P_R (A) ≈ 0,2489 : valeur approchée 10^(-4)

 

Probabilité conditionnelle :

P_A(B) = P(A∩B) / P(A)

 

PARTIE B 

 

1) On veut tester l’hypothèse «  p=0,62»  

(pour l’année 2016, la probabilité d’être reçu à l’examen est égale a 0,62)

 

n=400 ≥30 , np≥5  et n(1-p)≥5  

 

Un intervalle de fluctuation asymptotique au seuil de 95 % de la fréquence de candidats reçus dans un échantillon aléatoire de 400 est :

 

I=[p-1,96 × √(p(1-p))/√n ; p+1,96 × √(p(1-p))/√n] = [0,572 ; 0,668 ]

 

2) Dans l’échantillon des candidats interrogés par association d’automobilistes, la fréquence des candidats qui ont sélectivement obtenu le permis de conduire est 

f = 220/400 = 0,55

 

f = 0,55  ∉ I donc on rejette l’hypothèse selon laquelle la probabilité d’être reçu à l’examen est égale à 0,62.

 

Conclusion : On peut émettre des doutes sur l’affirmation du responsable de cette auto-école.

 

Partie C 

 

On décide de modéliser le coût d’obtention du permis de conduire par une variable aléatoire X qui suit la loi normale d’espérance µ=1500 et d’écart-type σ=410.

 

1) À l’aide de la calculatrice on obtient la probabilité que le coût du permis de conduire soit compris entre 1090 € et 1910€.

P(1090 ≤ X ≤ 1910) ≈ 0,68  : valeur approchée à 10^(-2)près

 

2) P(X ≤ 1155) ≈ 0,2      

 

3) a) Estimation de la valeur du nombre réel a vérifiant P(X > a)=0,2.

 

P(X>a)=0,2 ➜  1-P(X≤a)=0,2 ➜ P(X≤a)=0,8

 

Avec la calculatrice (répartition inversée de la loi normale) on obtient :

a≈1845 (valeur arrondie à l’unité)

 

b) Interprétation 

 

Selon ce modèle, la probabilité que le coût d’obtention du permis de conduire dépasse 1845€ est de 20%

 

—

Commandes à saisir à la Calculatrice pour calculer P(a ≤ X ≤ b)  où X~N( μ,σ^2)

Casio : « OPTN » → « STAT » → « DIST »  puis normCD(𝒂 , 𝒃 , 𝝈, 𝝁)

Texas Instruments : « 2nde » → « var » → «normalFrép » puis normalFrép(𝒂 , 𝒃, 𝝁, 𝝈)

Dans la question 1) on veut P(a ≤ X ≤ b) : a = 1090 ;b = 1910, μ = 1500  et σ = 410

Pour la question 2) on cherche P(X ≤ b)  soit P(-10^99 ≤ X ≤ b)  a= -10^99  ; b=1155,  

μ=11 et σ=4

Pour la question 3) on utilise InvN au lieu de Ncd

 

 

Exercice 3

Candidats de la série ES n’ayant pas suivi l’enseignement de spécialité et candidats de la série L

 

On considère la suite (u_n ) définie par u0 = 4000 et pour tout entier naturel n

 

u_(n+1) = 0,996u_n +7,2

1) En 2015 les forêts couvraient environ 4000 millions d’hectares sur terre :

Donc u_0=4000 représente la surface mondiale de forêt estimée en 2015+0.

 

On estime que, chaque année, cette surface diminue de 0,4 %. Cette perte est en partie compensée par le reboisement qui est estimé 7,2 millions d’hectares par an.

 

En 2016 on la surface sera :  u_0 × (1-0,4%) + 7,2 = 0,996u_0 + 7,2 = u_1

donc u_1 représente la surface de forêt estimée en 2015+1

 

Sur le même principe on remarque que ∀ n ∈ N, u_n permet d’obtenir une estimation de la surface mondiale de forêt estimée en 2015+n

2) Algorithme complété pour qu’il calcule et affiche la première année pour laquelle la surface totale de forêt couvre moins de 3500 millions d’hectares sur terre.

 

 

3) On considère la suite (v_n) définie pour tout entier naturel n par :

 

v_n = u_n - 1800

 

a)

 

 

Donc (v_n) est une suite géométrique de  raison q = 0,996   et de premier terme :

 

v_0 = u_0 - 1800 = 4000 - 1800 = 2200

b)  Pour tout entier naturel n on a :

 

v_n = u_n -1800 

➜ u_n = v_n + 1800

➜ u_n = v_0 × q^n + 1800 (terme général de v_n)

➜ u_n = 2200 × 0,996^n + 1800   

 

c) Calculons la limite de la suite (u_n)  

 

u_n = 2200 × 0,996^n + 1800   

Or lim(n→∞) 0,996^n = 0 car -1 < 0,996 < 1

 

➜ lim(n→∞)⁡ 2200 × 0,996^n = 0

 

Par somme lim(n→∞)⁡ u_n= lim(n→∞)⁡2200 ×0,996^n + 1800 = 1800 donc lim(n→∞)⁡u_n = 1800

 

Selon ce modèle, si le phénomène perdure, la surface des forets sur terre ne va pas finir par disparaître. Elle sera d’environ 1800  millions d’hectares.

 

4. Une étude montre que, pour compenser le nombre d’arbres détruits ces dix dernières années, il faudrait planter 140 milliards d’arbres en 10 ans. 

 

On cherche ici Le nombre total d’arbres plantés de 2016 à 2025

 

S= Arbres Plantés_2016 + Arbres Plantés_2017 +..+ Arbres Plantés_2025

 

Nous pouvons représenter le nombre (en milliards) d’arbres plantés l’année de rang 2016+n par la suite géométrique (w_n) définie par :

 

En 2016, on estime que le nombre d’arbres plantés est de 7,3 milliards.

 

On suppose que le nombre d’arbres plantés augmente de 10% chaque année.

 

 

Le nombre d’arbres plantés de 2016 à 2025 est donc la somme des 10 premiers termes consécutifs de la suite (w_n) géométrique de raison 1,1≠1 et de premier terme 7,3.

 

S= w_0 + w_1 +..+ w_9

S= w_0 × (1-1,1^10)/(1-1,1) = w_0 × (1-1,1^10)/(1-1,1)

S≈ 116,343 milliards < 140

 

—

Rappel : La somme de termes consécutifs d’une suite géométrique de raison q (q≠1) est :

S= Premier terme × (1-q^(nb de termes))/(1-q)

 

Conclusion : L’ONU ne réussira pas à replanter 140 milliards d’arbres de 2016 à 2025. 

 

Exercice 4

 

Soit f une fonction définie sur l’intervalle [0;5] par f (x) = (ax-2) e^(-x) , où a est un nombre réel.

 

On admet dans tout l’exercice que la fonction f est deux fois dérivable sur l’intervalle [0;5]. La courbe représentative C de la fonction f est donnée ci-dessous dans un repère d’origine O.

 

image

 

1) Le point A(0;-2) appartient à la courbe C de la fonction f . 

On en déduit que  f(0)=-2

 

La droite D, tangente à la courbe C au point A, admet pour équation y=10x-2

On en déduit que  f'(0)=10

 

 

2) a) ∀ x ∈[0;5] on a :

f (x) = (ax-2) e^(-x) = u × v avec u(x) = ax - 2  et v(x) = e^(-x)

 

D’où

f'(x) = u'×v + u×v' = ae^(-x) + (ax-2)(-e^(-x))

= e^(-x)[a-(ax-2)]

 

f'(x) = (-ax + a + 2) e^(-x)

 

b) D’après la question 1) on a

 

f'(0) = 10 ➜ (-a×0+a+2) e^(-0)=10)

➜ a+2 = 10 ➜ a = 10-2 ➜ a= 8

 

c) D’après la question précédente a=8.

On en déduit l’expression de f'(x):

 

f'(x) = (-8x + 8 + 2)e^(-x) = (-8x+10)e^(-x)

 

3) a) Le signe de la dérivée est celui de (-8x+10)  car e^(-x) > 0  ∀ x

-8x + 10 = 0 ➜ x = (-10)/(-8) = 5/4 = 1,25 ∈ [0;5]

 

 

— 

Rappel :

Signe d’une fonction affine f(x)=ax+b :

 

b) On en déduit le tableau de variations de la fonction f

 

D’après la question 2b) a = 8 donc f(x) = (ax-2)e^(-x) = (8x-2)e^(-x)

 

 

—

Remarque :

Les variations sont cohérentes avec la courbe représentative fournie

 

c) Résolvons l’équation f(x)=0 sur l’intervalle [0;5]

f(x)=0 

➜(8x-2) e^(-x)=0  or ∀ x e^(-x)>0  

➜(8x-2) = 0       

➜x=2/8 = 1/4 =0,25 ∈ [0;5]

 

4) A l’aide d’un logiciel de calcul formel, on a obtenu les résultats suivants :

 

 

a) D’après les deux premières lignes de calcul (voir figure)

f''(x) = (8x-18)e^(-x) 

 

b) Les points d’inflexion de la courbe correspondent aux points où la dérivée seconde f'' s’annule en changeant de signe.

 

La troisième ligne de calcul correspond à la résolution de l’équation f'' (x)>0 

f’’ (x)>0 ➜ x > 9/4 = 2,25∈ [0;5]

 

On en déduit que :

f'' (x)<0 ∀ x ∈ [0;2,25], la fonction est concave sur cet intervalle

f'' (x)>0 ∀ x ∈ [2,25;5], la fonction est convexe sur cet intervalle

 

Ici la courbe admet un point d’inflexion d’abscisse 9/4  car la dérivée seconde f'' s’annule en changeant de signe en ce point.

5. Une entreprise fabrique des grille-pains.

Après avoir fait une étude, son directeur constate que si l’entreprise fabrique chaque jour x milliers de grille-pains (où x est un nombre réel de l’intervalle [1;5]), alors le bénéfice quotidien est donné, en centaine de milliers d’euros, par la fonction f définie par :

 

f(x) = (8x-2)e^(-x)

 

Il s’agit de la fonction étudiée dans les questions précédentes.

 

a) D’après le tableau de variations obtenu à la question 3b. La fonction f atteint son maximum au point d’abscisse  5/4 = 1,25.

 

Donc, pour réaliser un bénéfice maximal, l’entreprise doit fabriquer 1250 grille-pains (1,25 milliers).

 

—

Le bénéfice quotidien f(x) est donné en centaine de milliers d’euros.

 

b) La valeur de ce bénéfice maximal est alors :

f(5/4)= 8e^(-5/4) ≈ 2,292038 × 10^5 €

≈229 204 €  (valeur approchée à l’euro près).

 

L’entreprise réalise un bénéfice maximal de 229 204 euros

 

Exploitation de la courbe