Les Intégrales

Cette fiche de révision porte sur le calcul intégral. Il s'agit d'une notion de cours qui exige une certaine rigueur et vous ne pourrez pas vous permettre de ne pas la connaître par coeur pour votre épreuve du Bac. Notre prof de maths vous propose donc de revoir les intégrales et tous les calculs que vous pouvez effectuer avec, le tout gratuitement bien entendu !

Document rédigé par un prof Les Intégrales

Le contenu du document

 

I - Définition d'une intégrale

De manière générale, nous avons la définition suivante :
Soit une fonction continue et positive sur l'intervalle avec . On appelle de sur le nombre noté  égal à l'aire du domaine sous la courbe de . Ce nombre est exprimé sans unité.
Voici quelques exemples pour illustrer cette définition :
En effet, on a : et avec et .
On en déduit : et (on est sur le cercle trigonométrique).
De manière générale, on a, pour  :

II - Propriétés de l'intégrale

Soit une fonction continue sur l'intervalle .
Si est positive sur , alors on a la suivante :
Soit un réel de . Alors on a l'égalité suivante :
Nous avons alors la , qui est le théorème suivant :
Soit une fonction continue sur un intervalle . Soient trois réels de . Alors, on a :
Nous avons aussi le :
Soient et deux fonctions continues sur l'intervalle . Soient deux réels.
Alors, on a :
Prenons deux exemples pour illustrer ce théorème :

III - Notion de primitive

Soit une fonction continue sur un intervalle . On dit que est une de sur si pour tout de , la dérivée de est égale à . Donc on a : .
Par exemple, on a :
  • et donc avec ;
  • et donc avec .
Ainsi, on peut établir un lien avec la notion d'intégrale. Soit une fonction continue sur un intervalle . Soit un réel de . Alors on peut dire que la fonction définie sur par :
est la primitive de qui s'annule pour .
On peut établir la remarque suivante : toute fonction continue sur un intervalle y admet des primitives. De plus, nous avons la notation :

IV - Intégration par parties

Soient et deux fonctions continues et dérivables sur telles que et soient continues sur ce même intervalle. On a alors . Donc, pour tout de , on a .
Nous pouvons donc établir la suivante :
Fin de l'extrait

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