Sujet de Mathématiques - Bac ES Pondichéry 2016

Sujet de Mathématiques - Bac ES Pondichéry 2016

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Cette année, les lycéens de Pondichéry on du traiter 4 exercices portant sur l'étude de fonction, les probabilités, les suites, l'échantillonage, les dérivées...

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Sujet de Mathématiques - Bac ES Pondichéry 2016

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EXERCICE 1 (4 points)

Cet exercice est un QCM (questionnaire à choix multiples). Pour chacune des quatre questions posées, une seule des trois réponses proposées est exacte. Indiquer sur la copie le numéro de la question et recopier la réponse exacte. Aucune justification n’est demandée. Une réponse exacte rapporte 1 point, une réponse fausse ou l’absence de réponse ne rapporte ni n’enlève de point. Une réponse multiple ne rapporte aucun point.


1. Soit f la fonction définie sur l’intervalle ]0 ; +∞[ par f(x) = 3x − x ln x.

On admet que f est dérivable sur l’intervalle ]0 ; +∞[ et on désigne par f′ sa fonction dérivée.

Pour tout nombre réel x de l’intervalle ]0 ; +∞[ on a :

(a) f'(x) = 3 - 1/x (b) f'(x) = 3 - ln x (c) f'(x) = 2 - ln x


2. On considère la suite géométrique de premier terme 1 et de raison 2.

La somme des 13 premiers termes de cette suite vaut :

(a) 4 095  (b) 8 191  (c) (1 - 214)/(1 - 2)


3. Une variable aléatoire X suit une loi uniforme sur l'intervalle [2 ; 7] dont la fonction de densité est représentée ci-dessous.

P (A) désigne la probabilité d’un événement A et E (X) l'éespérance de la variable aléatoire X.

(a) P(3 ≤ X ≤ 7) = 1/4  (b) P(X ≥ 4) = P(2 ≤ X ≤ 5)  (c) E(X) = 9/5


4. On réalise un sondage sur un échantillon de n personnes (n, entier naturel non nul).

Parmi les tailles de l'échantillon proposées ci-dessous, quelle est celle qui permet d’obtenir un intervalle de confiance au niveau de confiance 0,95 avec une amplitude de 0,02 ?

(a) n = 5 000 (b) n = 100 (c) n = 10 000


EXERCICE 2 (6 points)

La partie A peut être traitée indépendamment des parties B et C.

L’entreprise BBE (Bio Bois Energie) fabrique et vend des granulés de bois pour alimenter des chaudières et des poëles chez des particuliers ou dans des collectivités.

L’entreprise produit entre 1 et 15 tonnes de granulés par jour.

• Les coûts de fabrication quotidiens sont modélisés par la fonction C définie sur l’intervalle [1 ; 15] par :

C(x) = 0,3x2 - x + e-x+5

où x désigne la quantité de granulés en tonnes et C(x) le coût de fabrication quotidien correspondant en centaines d’euros.

• Dans l’entreprise BBE le prix de vente d’une tonne de granulés de bois est de 300 euros.

La recette quotidienne de l’entreprise est donc donnée parla fonction R définie sur l’intervalle [1 ; 15] par :

R(x) = 3x

où x désigne la quantité de granulés en tonnes et R(x) la recette quotidienne correspondante en centaines d’euros.

• On définit par D(x) le résultat net quotidien de l’entreprise en centaines d’euros, c’est-à-dire la différence entre la recette R(x) et le coût C(x), où x désigne la quantité de granulés en tonnes.


Partie A : Etude graphique

Sur le graphique situé en annexe (page 9/9), on donne C et ∆ les représentations graphiques respectives des fonctions C et R dans un repère d’origine O.

Dans cette partie A, répondre aux questions suivantes à l’aide du graphique, et avec la précision permise par celui-ci. Aucune justification n’est demandée.

1. Déterminer la quantité de granulés en tonnes pour laquelle le coût quotidien de l’entreprise est minimal.

2. (a) Déterminer les valeurs de C(6) et R(6) puis en déduire une estimation du résultat net quotidien en euros dégagépar l’entreprise pour 6 tonnes de granulés fabriqués et vendus.

(b) Déterminer les quantités possibles de granulés en tonnes que l’entreprise doit produire et vendre quotidiennement pour dégager un résultat net positif, c’est-à-dire un bénéfice.


Partie B : Etude d’une fonction

On considère la fonction g définie sur l’intervalle [1 ; 15] par :

g(x) = -0,6x + 4 + e-x+5

On admet que la fonction g est dérivable sur l’intervalle [1 ; 15] et on note g′ sa fonction dérivée.

1. (a) Calculer g'(x) pour tout réel x de l’intervalle [1 ; 15].

(b) En déduire que la fonction g est décroissante sur l’intervalle [1 ; 15].

2. (a) Dresser le tableau de variation de la fonction g sur l’intervalle [1 ; 15], en précisant les valeurs de g(1) et de g(15) arrondies à l’unité.

(b) Le tableau de variation permet d’affirmer que l'équation g(x) = 0 admet une unique solution α sur l’intervalle [1 ; 15].

Donner une valeur approchée de α à 0,1 près.

(c) Déduire des questions précédentes le tableau de signe de g(x) sur l’intervalle [1 ; 15].


Partie C : Application économique

1. Démontrer que pour tout réel x de l’intervalle [1 ; 15], on a :

D(x) = -0,3x2 + 4x - e-x+5

2. On admet que la fonction D est dérivable sur l’intervalle [1 ; 15] et on note D' sa fonction dérivée.

Démontrer que pour tout réel x de l’intervalle [1 ; 15], on a D'(x) = g(x), où g la fonction étudiée dans la partie B.

3. En déduire les variations de la fonction D sur l’intervalle [1 ; 15].

4. (a) Pour quelle quantité de granulés l’entreprise va-t-elle rendre son bénéfice maximal ?

On donnera une valeur approchée du résultat à 0,1 tonne près.

(b) Calculer alors le bénéfice maximal à l’euro près.


EXERCICE 3 (5 points)

Les parties A et B peuvent être traitées de manière indépendante.

Partie A

On dispose des renseignements suivants à propos du baccalauréat session 2015 :

• 49 % des inscrits ont passé un baccalauréat général, 20 % un baccalauréat technologique et les autres un baccalauréat professionnel ;

• 91,5 % des candidats au baccalauréat général ont été reçus ainsi que 90,6 % des candidats au baccalauréat technologique.

Source : DEPP (juillet 2015)

On choisit au hasard un candidat au baccalauréat de la session 2015 et on considère les événements suivants :

• G : ≪ Le candidat s’est présenté au baccalauréat général ≫ ;

• T : ≪ Le candidat s’est présent au baccalauréat technologique ≫ ;

• S : ≪ Le candidat s’est présenté au baccalauréat professionnel ≫ ;

• R : ≪ Le candidat a été reçu ≫.

Pour tout événement A, on note P(A) sa probabilité et Abarre son événement contraire.

De plus, si B est un autre événement, on note PB(A) la probabilité de A sachant B.

1. Préciser les probabilités P(G), P(T), PT(R) et PG(R).

2. Traduire la situation par un arbre pondéré. On indiquera les probabilités trouvées à la question précédente. Cet arbre pourra être complété par la suite.

3. Vérifier que la probabilité que le candidat choisi se soit présenté au baccalauréat technologique et l’ait obtenu est égale à 0,1812 .

4. Le ministère de l’Education Nationale a annoncé un taux global de réussite pour cette session de 87,8 % pour l’ensemble des candidats présentant l’un des baccalauréats.

(a) Vérifier que la probabilité que le candidat choisi se soit présenté au baccalauréat professionnel et l’ait obtenu est égale à 0,24845 .

(b) Sachant que le candidat s’est présenté au baccalauréat professionnel, déterminer la probabilité qu’il ait été reçu. On donnera une valeur approchée du résultat au millième.


Partie B

A l’issue des épreuves du baccalauréat, une étude est faite sur les notes obtenues par les candidats en mathématiques et en français.

On admet que la note de mathématiques peut être modélisée par une variable aléatoire XM qui suit la loi normale de moyenne 12,5 et d'écart-type 3,5.

De même la note de français peut être modélisée par une variable aléatoire XF qui suit la loi normale de moyenne 13,2 et d'éecart-type 2,1.

1. Déterminer P(9 ≤ XM ≤ 16) en donnant le résultat arrondi au centième.

2. Sur les graphiques ci-dessous, on a représenté en pointillé la fonction densité associée à la variable aléatoire XM.

La fonction densité associée à XF est représentée sur un seul de ces graphiques.

Quel est ce graphique ? Expliquer le choix.


EXERCICE 4 (5 points)

En janvier 2016, une personne se décide à acheter un scooter coûtant 5 700 euros sans apport personnel. Le vendeur lui propose un crédit à la consommation d’un montant de 5 700 euros, au taux mensuel de 1,5 %. Par ailleurs, la mensualité fixée à 300 euros est versée par l’emprunteur à l’organisme de crédit le 25 de chaque mois. Ainsi, le capital restant dû augmente de 1,5 % puis baisse de 300 euros.

Le premier versement a lieu le 25 février 2016.

On note un le capital restant dû en euros juste après la n−ième mensualité (n entier naturel non nul). On convient que u0 = 5 700.

Les résultats seront donnés sous forme approchée à 0,01 près si nécessaire.

1. (a) Démontrer que u1, capital restant dû au 26 février 2016 juste après la première mensualité, est de 5 485,50 euros.

(b) Calculer u2.

2. On admet que la suite (un) est définie pour tout entier naturel n par : un+1 = 1,015 un − 300.

On considère l’algorithme suivant :

(a) Recopier et compléter le tableau ci-dessous en ajoutant autant de colonnes que nécessaires entre la deuxième et la dernière colonne.

(b) Quelle valeur est affichée à la fin de l’exécution de cet algorithme ?

Interpréter cette valeur dans le contexte de l’exercice.

3. Soit la suite (vn) définie pour tout entier naturel n par vn = un − 20 000.

(a) Montrer que pour tout entier naturel n, on a : vn+1 = 1, 015 × vn.

(b) En déduire que pour tout entier naturel n, on a : un = 20 000 − 14 300 × 1, 015n


4. A l’aide de la réponse précédente, répondre aux questions suivantes :

(a) Démontrer qu’une valeur approchée du capital restant dû par l’emprunteur au 26 avril 2017 est 2 121,68 euros.

(b) Déterminer le nombre de mensualités nécessaires pour rembourser intégralement le prêt.

(c) Quel sera le montant de la dernière mensualité ?

(d) Lorsque la personne aura terminé de rembourser son crédit à la consommation, quel sera le coût total de son achat ?

Fin de l'extrait

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