Correction Spé Maths Bac ES 2017 Polynésie

Correction Spé Maths Bac ES 2017 Polynésie

Voici la correction de Spécialité Mathématiques du Bac ES 2017 de Polynésie.
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Au programme, 4 exercices portant sur : les fonctions exponentielles et logarithme, les probabilités et statistiques, les graphes (exercice de spécialité) et les fonctions et dérivation.

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Correction Spé Maths Bac ES 2017 Polynésie

Le contenu du document


Ce sujet est composé d’exercices « classiques » (voir tableau ci-dessous) et reste facilement abordable. Cependant, certaines questions nécessitaient une prise d’initiative et donc la maitrise des notions abordées. Les difficultés majeures étaient les suivantes :

• Exercice 3 (Hors spécialité) : Dans la dernière question, penser à utiliser la somme des termes d’une suite géométrique.

 

EXERCICE 1 (QCM) 

 

1. Réponse b

 

logarithme-bac-es-l-maths-correction-polynesie-2017


2. Réponse c 

 

f(x) = 2xe^(x²) = u'e^u avec u(x)= x²

 

Une primitive de f est F(x) = e^(x²)

 

D’où : equation-bac-polynesie-2017-es-l-correction-maths dx = F(2)- F(-2) = e^(2²) - e^((-2)²) = e^4 - e^4 = 0

 

3. Réponse c

 

f est la fonction définie et dérivable pour tout x∈]0;+∞[

 

f(x)= (2x+3)lnx = u × v   avec   u(x) = 2x + 3    et   v(x) =lnx

 

f'(x) = u'× v + u × v'= 2 × lnx + (2x+3) × 1/x = 2lnx + 2 + 3/x

 

f'(x)= 2lnx + 3/x + 2

 

4. Réponse d

 

question-4-correction-maths-polynesie-2017

 

Une grandeur a été augmentée de 5 % la première année, puis de 7 % la deuxième année. Elle a été multipliée par :

 

(1+5%)(1+7%)=(1+5/100)(1+7/100)=1,05×1,07=1,1235

 

Soit T le pourcentage global d’augmentation sur ces deux années. On a :

 

1 + T = 1,1235 ➜ T = 1,1235 - 1 = 0,1235 = 12,35%

 

T = 12,35%

 

EXERCICE 2

 

Les trois parties de cet exercice sont indépendantes.

 

PARTIE A 

 

A : ≪ le candidat a suivi la filière AAC ≫ ;

R : ≪ le candidat a été reçu à l’examen ≫.

 

1) a.

 

➜ «20% des personnes qui se sont présentées à l’épreuve pratique du permis de conduire avaient suivi la filière AAC.   

P(A)=0,2

 

➜ Parmi ces candidats, 75 % ont été reçus à l’examen.

P_A(R)=0,75

 

➜ Pour les candidats n’ayant pas suivi la filière AAC le taux de réussite à l’examen était seulement de 56,6 %

P_A ̅ (R)=0,566


b. Arbre traduisant la situation

 

arbre-pondere-polynesie-correction-2017-maths

 

2)

a. P(A∩R) = P(A) × P_A(R) =0,2 ×0,75

P(A∩R) = 0,15

 

arbre-pondere-2-bac-polynesie-maths-2017-es-l

 

b. Lorsqu’on choisit au hasard un candidat, il y a 15% de chances qu’il ait suivi la filière d’apprentissage anticipé de la conduite et soit reçu à l’examen.

 

3)

 

P(R) = P(A∩R) + P(A ̅∩R) = 0,15 + 0,8 × 0,434 = 0,15 + 0,4528

 

P(R) = 0,6028

 

arbre-pondere-bac-polynesie-2017-maths-es-l

 

4)

P_R (A) = P(A∩R)/P(R) = 0,15 / 0,6028

P_R (A) ≈ 0,2489 : valeur approchée 10^(-4)

 

Probabilité conditionnelle :

P_A(B) = P(A∩B) / P(A)

 

PARTIE B 

 

1) On veut tester l’hypothèse «  p=0,62»  

(pour l’année 2016, la probabilité d’être reçu à l’examen est égale a 0,62)

 

n=400 ≥30 , np≥5  et n(1-p)≥5  

 

Un intervalle de fluctuation asymptotique au seuil de 95 % de la fréquence de candidats reçus dans un échantillon aléatoire de 400 est :

 

I=[p-1,96 × √(p(1-p))/√n ; p+1,96 × √(p(1-p))/√n] = [0,572 ; 0,668 ]

 

2) Dans l’échantillon des candidats interrogés par association d’automobilistes, la fréquence des candidats qui ont sélectivement obtenu le permis de conduire est 

f = 220/400 = 0,55

 

f = 0,55  ∉ I donc on rejette l’hypothèse selon laquelle la probabilité d’être reçu à l’examen est égale à 0,62.

 

Conclusion : On peut émettre des doutes sur l’affirmation du responsable de cette auto-école.

 

Partie C 

 

On décide de modéliser le coût d’obtention du permis de conduire par une variable aléatoire X qui suit la loi normale d’espérance µ=1500 et d’écart-type σ=410.

 

1) À l’aide de la calculatrice on obtient la probabilité que le coût du permis de conduire soit compris entre 1090 € et 1910€.

P(1090 ≤ X ≤ 1910) ≈ 0,68  : valeur approchée à 10^(-2)près

 

2) P(X ≤ 1155) ≈ 0,2      

 

3) a) Estimation de la valeur du nombre réel a vérifiant P(X > a)=0,2.

 

P(X>a)=0,2 ➜  1-P(X≤a)=0,2 ➜ P(X≤a)=0,8

 

Avec la calculatrice (répartition inversée de la loi normale) on obtient :

a≈1845 (valeur arrondie à l’unité)

 

b) Interprétation 

 

Selon ce modèle, la probabilité que le coût d’obtention du permis de conduire dépasse 1845€ est de 20%

 

Commandes à saisir à la Calculatrice pour calculer P(a ≤ X ≤ b)  où X~N( μ,σ^2)

Casio : « OPTN » → « STAT » → « DIST »  puis normCD(𝒂 , 𝒃 , 𝝈, 𝝁)

Texas Instruments : « 2nde » → « var » → «normalFrép » puis normalFrép(𝒂 , 𝒃, 𝝁, 𝝈)

Dans la question 1) on veut P(a ≤ X ≤ b) : a = 1090 ;b = 1910, μ = 1500  et σ = 410

Pour la question 2) on cherche P(X ≤ b)  soit P(-10^99 ≤ X ≤ b)  a= -10^99  ; b=1155,  

μ=11 et σ=4

Pour la question 3) on utilise InvN au lieu de Ncd

 

 

Exercice 3

Candidats de la série ES ayant suivi l’enseignement de spécialité

 

Les deux parties de cet exercice sont indépendantes.

 

PARTIE A

 

Alex a téléchargé sur son smartphone un jeu lui permettant de combattre des animaux virtuels par localisation GPS. Le graphe pondéré représenté ci-dessous illustre le trajet qu’Alex doit suivre en marchant dans les rues de sa ville et le nombre d’animaux virtuels qu’il doit combattre sur la route suivie.

 

A l’aide de l’algorithme de Dijkstra, on détermine le plus court chemin entre les sommets O et F. 

 

exercice-spe-maths-bac-es-l-2017-polynesie

 

Ce chemin de longueur 14, correspondant au trajet O-A-B-E-D-F.

 

correction-bac-maths-tes-tl-polynesie-2017

 

S’il part du point O pour arriver au point F de la ville, qu’Alex doit combattre au minimum 14 créatures. 

 

Partie B

 

Alex retrouve d’autres personnes, ayant le même jeu, dans le parc de la ville dans le but de comparer le nombre de créatures qu’ils ont combattues.

Soit f la fonction définie par f(x)=ax^2+bx+c  où  a, b et c sont trois nombres réels et x un nombre entier compris entre 1 et 10. 

On admet que la fonction f modélise le nombre de personnes qui se retrouvent dans le parc le x−ième jour.

 

1. Traduire l’énoncé par le système :

 

Le premier jour, 8 personnes se sont retrouvées dans le parc : f(1)=8

25 personnes le second jour f(2)=25

80 personnes le troisième jour f(3)=80

 

exercice-correction-spe-maths-bac-es-2017-polynesie

2) 

 

correction-spe-amths-polynesie-2017

 

b) La matrice M vérifie M × A = A × M = I_3

M est donc la matrice inverse de A Notée M = A^(-1)  

 

4. Déterminons les valeurs des nombres a, b et c. Pour cela, résolvons le système :

AX = B ➜ A^(-1)AX = A^(-1) B ➜ I_4 X = A^(-1) B ➜ X = A^(-1)B = M×B  

maths-corrige-bac-es-specialite-polynesie-2017

 

5. Le parc de la ville a une capacité d’accueil de 2500 personnes.

∀ x ∈ [1;10] f(x) = 19x² - 40x + 29  (Trinôme du second degré)

 

Comme a = 19 > 0, la parabole est tournée vers le haut, la fonction est strictement décroissante puis strictement croissante. 

 

Elle atteint son minimum au point d’abscisse -b/2a = 20/19 ≈ 1,05 ∈ [1;10]  

 

Donc f est :

strictement décroissante sur [1;20/19]

puis strictement croissante sur [20/19;10].

 

Or  f(1) = 8 et f(10) = 1529 donc pour tout x de l’intervalle [1;10]  on a :

f(x) ≤ 1529 < 2500

 

Tableau de variation de f

 

tableau-de-variation-bac-maths-spe-es-polynesie-2017

 

Selon ce modèle, le nombre de personnes qui se retrouvent dans le parc un de ces 10 jours étant strictement inférieur à 2500, le parc n’a aucun risque de refuser d’accueillir des personnes.

 

Exercice 4

Soit f une fonction définie sur l’intervalle [0;5] par f (x) = (ax-2) e^(-x) , où a est un nombre réel.

 

On admet dans tout l’exercice que la fonction f est deux fois dérivable sur l’intervalle [0;5]. La courbe représentative C de la fonction f est donnée ci-dessous dans un repère d’origine O.

 

courbe-bac-maths-polynesie-2017

 

1) Le point A(0;-2) appartient à la courbe C de la fonction f . 

 

On en déduit que  f(0)=-2

 

La droite D, tangente à la courbe C au point A, admet pour équation y=10x-2

On en déduit que  f'(0)=10

 

2) a) ∀ x ∈[0;5] on a :

f (x) = (ax-2) e^(-x) = u × v avec u(x) = ax - 2  et v(x) = e^(-x)

 

D’où

f'(x) = u'×v + u×v' = ae^(-x) + (ax-2)(-e^(-x))

= e^(-x)[a-(ax-2)]

 

f'(x) = (-ax + a + 2) e^(-x)

 

b) D’après la question 1) on a

 

f'(0) = 10 ➜ (-a×0+a+2) e^(-0)=10)

➜ a+2 = 10 ➜ a = 10-2 ➜ a= 8

 

c) D’après la question précédente a=8.

On en déduit l’expression de f'(x):

 

f'(x) = (-8x + 8 + 2)e^(-x) = (-8x+10)e^(-x)

 

3) a) Le signe de la dérivée est celui de (-8x+10)  car e^(-x) > 0  ∀ x

-8x + 10 = 0 ➜ x = (-10)/(-8) = 5/4 = 1,25 ∈ [0;5]

 

tableau-signe-courbe-maths-polynesie-2017

 

— 

Rappel :

Signe d’une fonction affine f(x)=ax+b :

signe-fonction-affine-maths-bac-es-l-polynesie-2017

 

b) On en déduit le tableau de variations de la fonction f

 

D’après la question 2b) a = 8 donc f(x) = (ax-2)e^(-x) = (8x-2)e^(-x)

 

exercice-fonction-affine-bac-maths-es-l-polynesie-2017

 

Remarque :

Les variations sont cohérentes avec la courbe représentative fournie

 

c) Résolvons l’équation f(x)=0 sur l’intervalle [0;5]

f(x)=0 

➜(8x-2) e^(-x)=0  or ∀ x e^(-x)>0  

➜(8x-2) = 0       

➜x=2/8 = 1/4 =0,25 ∈ [0;5]

 

4) A l’aide d’un logiciel de calcul formel, on a obtenu les résultats suivants :

 

exercice-bac-maths-es-l-polynesie-2017

 

a) D’après les deux premières lignes de calcul (voir figure)

f''(x) = (8x-18)e^(-x) 

 

b) Les points d’inflexion de la courbe correspondent aux points où la dérivée seconde f'' s’annule en changeant de signe.

 

La troisième ligne de calcul correspond à la résolution de l’équation f'' (x)>0 

f’’ (x)>0 ➜ x > 9/4 = 2,25∈ [0;5]

 

On en déduit que :

f'' (x)<0 ∀ x ∈ [0;2,25], la fonction est concave sur cet intervalle

f'' (x)>0 ∀ x ∈ [2,25;5], la fonction est convexe sur cet intervalle

 

Ici la courbe admet un point d’inflexion d’abscisse 9/4  car la dérivée seconde f'' s’annule en changeant de signe en ce point.


5. Une entreprise fabrique des grille-pains.

Après avoir fait une étude, son directeur constate que si l’entreprise fabrique chaque jour x milliers de grille-pains (où x est un nombre réel de l’intervalle [1;5]), alors le bénéfice quotidien est donné, en centaine de milliers d’euros, par la fonction f définie par :

 

f(x) = (8x-2)e^(-x)

 

Il s’agit de la fonction étudiée dans les questions précédentes.

 

a) D’après le tableau de variations obtenu à la question 3b. La fonction f atteint son maximum au point d’abscisse  5/4 = 1,25.

 

Donc, pour réaliser un bénéfice maximal, l’entreprise doit fabriquer 1250 grille-pains (1,25 milliers).

 

Le bénéfice quotidien f(x) est donné en centaine de milliers d’euros.

 

b) La valeur de ce bénéfice maximal est alors :

f(5/4)= 8e^(-5/4) ≈ 2,292038 × 10^5 €

≈229 204 €  (valeur approchée à l’euro près).

 

L’entreprise réalise un bénéfice maximal de 229 204 euros

 

Exploitation de la courbe

 

courbe-bac-maths-es-l-polynesie-2017

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