Graphe probabiliste à deux ou trois sommets : Matrice de transition, état stable d'un graphe probabiliste - Spé Maths - Bac ES

Prérequis​

- Notions générales sur les graphes

- Matrices

- Suites

Objectifs

Dans cette fiche, l’objectif est d’étudier des graphes où sur les arêtes se trouvent des probabilités. En fait, l’idée est de modéliser un système par un graphe et d’étudier son évolution dans le temps en supposant que l’histoire antérieure est indépendante de l’actuelle. Ce type de processus « sans mémoire » est appelé chaîne de Markov ( Andreï Markov (1856-1922) était un mathématicien russe qui se spécialisa dans le calcul des probabilités dans les années 1900. Ses contributions dans ce domaine ont été significatives.

I. Graphe probabiliste

Définition

Un graphe probabiliste est un graphe orienté et pondéré dont la somme des poids des arêtes issues de   chaque sommet vaut 1.

Exemple

C’est graphe probabiliste puisque il est orienté et 0,05 + 0,95 = 1; 0,8 + 0,2 = 1.

Remarque

Les graphes probabilistes sont utilisés pour modéliser l’évolution d’un système pouvant changer aléatoirement d’état.

II. Matrice de transition et état probabiliste

Définition : La matrice de transition d’un graphe probabiliste d’ordre n dont les sommets sont numérotés de 1 à n est la matrice carrée d’ordre n, où le terme figurant en ligne i et colonne j est égal au poids de l’arête allant de i vers j, si cette arête existe ou à 0 sinon.

Exemple

Si on reprend le graphe de l’exemple précédent, on obtient la matrice M de transition suivante :

Remarque : La somme des coefficients d’une même ligne d’une matrice de transition est égale à 1.

Définition : Un état probabiliste est une loi de probabilité sur l’ensemble des états possibles.Cette loi est représentée par une matrice ligne telle que la somme des termes est égale à 1.

Exemple :

Soit P = ( 1  0 ). P est un état probabiliste.

III. Evolution d’un état au cours du temps

Définition : 

L’état probabiliste après n étapes est la matrice ligne dont les coefficients sont les probabilités d’arrivée en chaque sommet.

Exemple « fil rouge » :

Un enfant joue aux fléchettes. Un adulte observe son jeu et ramarque que si l’enfant atteint la cible lors d’un lancer, alors il atteint encore la cible au lancer suivant avec une probabilité égale à 3/4. 

Si l’enfant n’atteint pas la cible lors d’un lancer, alors il l’atteint au lancer suivant avec une probabilité égale à 1/8.

 Lors du 1er lancer, l’enfant atteint la cible avec une probabilité égale à 1/8. 

Appelons c_n la probabilité que l’enfant atteint la cible au nième lancer et r_n la probabilité que l’enfant n’atteigne pas la cible au nième lancer.

L’état probabiliste après n étapes est P_n=(c_n  r_n )

Propriété :

On considère un graphe probabiliste de matrice de transition M et dont l’état probabiliste après n étapes est P_n.

Pour tout entier naturel n, on a : P_n+1 = P_n X M   et    P_n = P_o X Mⁿ

Remarque : 

On aussi la formule suivante, si on commence à l’étape k Ɛ ℕ : P_n = P_k X M^n-k

Exemple : 

Reprenons l’exemple « fil rouge ». Le graphe probabiliste de la situation est le suivant :

La matrice M de transition est la suivante :

Passons maintenant à la notion d’état stable.

Définition :

Un état probabiliste est dit stable lorsqu’il n’évolue pas lors de répétitions de l’expérience.

Propriété : 

On considère un graphe probabiliste d’ordre 2 (ou 3) dont la matrice de transition ne comporte pas de 0.

(i) L’état stable P vérifie alors l’égalité P=P×M. 

(ii) Si n tend vers l’infini, alors l’état probabiliste P_n tend vers l’état stable P.

Exemple : 

Reprenons à nouveau l’exemple « fil rouge ». Déterminons l’état stable P de cette situation.

Le plus + dans ta copie 

Lorsque vous manipulez des matrices de transition et des états probabilistes, assurez-vous que la somme des coefficients fait bien 1 sinon il faut reprendre !

Pour déterminer l’état stable P = (X   y), n’oubliez pas d’ajouter la condition x+y=1 lorsque vous vous apprêtez à résoudre le système d’équations.

Pour aller plus loin 

Pour s’entraîner sur des exercices de sujets de Bac rangés par chapitres : Yannick DO, Les sujets du Bac, Paris, Ellipses, 2015.

Pour revoir le cours et acquérir les méthodes essentielles du cours : Xavier GRAND-JACQUOT, Objectif réussite TES, Ellipses, 2018.

Pour ceux qui veulent en savoir plus sur les fonctions : Bibliothèque Tangente, Les graphes - HS n°54, Paris, éditions POLE, 2015.

Pour ceux qui veulent faire le lien entre les mathématiques et l’économie : Frantz BADUFLE, Rémi CHAUTARD, Comprendre les sciences éco par les maths, Paris, Ellipses, 2015.

Pour ceux qui veulent se cultiver de manière générale sur les mathématiques : http://images.math.cnrs.fr/ .