Sujet Spé Maths Bac ES Pondichéry 2017

Sujet Spé Maths Bac ES Pondichéry 2017

Voici le sujet de spécialité Maths au Bac ES de Pondichéry 2017 !
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Retrouvez le sujet de Spé Mathématiques qui comporte 4 exercices indépendants sur les fonctions, les matrices, les probabilités.

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Sujet Spé Maths Bac ES Pondichéry 2017

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EXERCICE 1 (4 points)

Cet exercice est un QCM (questionnaire à choix multiples). Pour chacune des questions pose ́es, une seule des trois réponses est exacte. Recopier le numéro de la question et la réponse exacte. Aucune justification n’est demandée. Une réponse exacte rapporte 1 point, une réponse fausse ou l’absence de réponse ne rapporte ni n’enlève de point. Une réponse multiple ne rapporte aucun point.

Soit f une fonction de ́ finie et dérivable sur l’intervalle ]0 ; 10] dont la courbe représentative C est donne ́e ci-dessous dans un repeèe d’origine O :

 

exercice-pondichery-2017-bac-es-spe-maths

 

On rappelle que f′ désigne la fonction dérivée de la fonction f.

1. Le nombre de solutions sur l’intervalle ]0 ; 10] de l’équation f ′ (x) = 0 est égal à :

(a) 1

(b) 2

(c) 3

 

2. Le nombre réel f′ (7) est : 

(a) nul

(b) strictement positif

(c) strictement négatif

 

3. La fonction f′ est:

(a) croissante sur ]0 ; 10]

(b) croissante sur [4 ; 7]

(c) décroissante sur [4 ; 7]

 

4. On admet que pour tout x de l’intervalle ]0;10] on a: f′(x)=lnx−x+1. La courbe C admet sur cet intervalle un point d’inflexion : 2

(a) d’abscisse 2, 1 

(b) d’abscisse 0, 9

(c) d’abscisse 2

 

EXERCICE 2 (5 points)

Un marathon est une épreuve sportive de course à pied.

Dans cet exercice, tous les résultats approchés seront donnés à 10−3 près. Les trois parties de cet exercice sont indépendantes.

 

Partie A

Une étude portant sur le marathon de Tartonville montre que :

• 34 % des coureurs terminent la course en moins de 234 minutes ;

• parmi les coureurs qui terminent la course en moins de 234 minutes, 5 % ont plus de 60 ans ; 

• parmi les coureurs qui terminent la course en plus de 234 minutes,84% ont moins de 60 ans.

On sélectionne au hasard un coureur et on considère les évènements suivants : 

• A : ≪ le coureur a termine ́ le marathon en moins de 234 minutes ≫ ;

• B:≪ le coureur a moins de 60 ans≫ ;

 

On rappelle que si E et F sont deux évènements, la probabilité de l’évènement E est note ́ e P (E) et celle de E sachant F est note ́e PF (E). De plus E de ́signe l’évènement contraire de E.

1. Recopier et compléter l’arbre de probabilité ci-dessous associé à la situation de l’exercice :

 

arbre-probabilites-maths-spe-pondichery-2017

2.

a) Calculer la probabilité que la personne choisie ait terminé le marathon en moins de 234 minutes et soit âgé de plus de 60 ans.

b) Vérifier que P B ≃0,123.

c) Calculer PB (A) et interpréter le résultat dans le cadre de l’exercice.

 

Partie B

On suppose que le temps en minutes mis par un marathonien pour finir le marathon de Tartonville est mode ́lise ́ par une variable aléatoire T qui suit une loi normale d’espérance μ = 250 et d’écart- type σ = 39.

1. Calculer P (210≦T≦ 270).

2. Un coureur est choisi au hasard parmi les coureurs qui ont mis entre 210 minutes et 270 minutes pour finir le marathon.

Calculer la probabilité que ce coureur ait termine ́ la course en moins de 240 minutes.

 

3.

a) Calculer P (T≦ 300).

b) Par la méthode de votre choix,estimer la valeur du nombre réel t, arrondi à l’unité, vérifiant P (T≧t) = 0, 9.

c) Interpréter le résultat obtenu dans le cadre de l’exercice.

 

EXERCICE 3 (5 points)

Alexis part en voyage dans l’Est des Etats-Unis. Il souhaite visiter les villes suivantes : Atlanta (A), Boston (B), Chicago (C), Miami (M), New York (N) et Washington (W).

Une compagnie aérienne propose les liaisons suivantes représentées par le graphe ci-dessous :

 

exercice-3-pondichery-2017-spe-maths-es

 

Les nombres présents sur chacune des branches indiquent le tarif, en dollars, du vol en avion.

1. a) Quelles caractéristiques du graphe permettent d’affirmer qu’il existe un trajet qui permette à Alexis d’emprunter chaque liaison aérienne une et une seule fois ?

b) Donner un exemple d’un tel trajet. 

2. Alexis veut relier Boston à Miami.

En utilisant un algorithme, déterminer le trajet le moins cher ainsi que le coût de ce trajet.

 

3. a) Donner la matrice d’adjacence P de ce graphe en classant les sommets par ordre alphabétique.

b) Alexis souhaite aller d’Atlanta à Boston en utilisant au maximum trois liaisons aériennes. Combien y a-t-il de trajets possibles? Justifier la démarche puis décrire chacun de ces trajets.

 

EXERCICE 4 (6 points)

Les deux parties de cet exercice sont indépendantes.

 

Partie A

Dans cette partie, les réponses seront données sans justification, avec la précision permise par le graphique situé en annexe en page 8/8.

Celui-ci présente dans un repère d’origine O la courbe représentative C d’une fonction f définie et dérivable sur l’intervalle [0 ; 7].

 

1. Encadrer par deux entiers consécutifs chacune des solutions de l’équation f (x) = 10 sur l’intervalle [0 ; 7].

2. Donner le maximum de la fonction f sur l’intervalle [0 ; 7] et préciser la valeur en laquelle il est atteint.

3. La valeur de l’intégrale integrale-exercice-spe-maths-pondichery-2017-bac-es  f (x) dx appartient à un seul des intervalles suivants. Lequel ?

(a) [9;17]

(b) [18;26] 

(c) [27;35]

 

Partie B

La courbe donnée en annexe page 8/8 est la représentation graphique de la fonction f définie et dérivable sur l’intervalle [0 ; 7] d’expression :

f (x) = 2x e−x+3

On rappelle que f′ désigne la fonction dérivée de la fonction f.

1. Montrer que pour tout re ́ el x de l’intervalle [0 ; 7], f ′ (x) = (−2x + 2) e−x+3 .

2. a) Etudier le signe de f ′ (x) sur l’intervalle [0 ; 7] puis en de ́ duire le tableau de variation de la fonction f sur ce même intervalle.

b) Calculer le maximum de la fonction f sur l’intervalle [0 ; 7].

3. a) Justifier que l’équation f (x) = 10 admet deux solutions sur l’intervalle [0 ; 7] que l’on notera α et β avec α < β.

 

b ) On admet que α ≃ 0,36 à 10(−2) près .

Donner une valeur approche ́e de β a` 10−2 pre`s.

4. On considère la fonction F définie sur l’intervalle [0;7] par : F (x) = (−2x − 2) e−x+3

a) Justifier que F est une primitive de f sur l’intervalle [0 ; 7].

b) Calculer la valeur exacte de l’aire, en unités d’aire, du domaine plan délimité par les droites d’équation x = 1, x = 3, l’axe des abscisses et la courbe C .

5. La fonction f étudiée modélise le bénéfice d’une entreprise, en milliers d’euros, réalisé pour la vente de x centaines d’objets (x compris entre 0 et 7).

a) Calculer la valeur moyenne du bénéfice, à l’euro près, lorsque l’entreprise vend entre 100 et 300 objets.

b) L’entreprise souhaite que son bénéfice soit supérieur à 10 000 euros.

De ́terminer le nombre d’objets possibles que l’entreprise devra vendre pour atteindre son objectif.

 

ANNEXE

N’est pas à rendre avec la copie

annexe-spe-maths-es-pondichery-2017

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